ගණිතය ඉගෙනිම පිළිබද මතවාද 1

ගෙස්ටාල්ට් න්‍යාය

ගැටලූවක හෝ සිද්ධියක හෝ කොටස් වෙන් වෙන් ව අධ්‍යයනය කිරීමෙන් නොව සමස්ත සංජානනය කිරීමෙන් එහි උපකොටස්වල සම්බන්ධය මැනවින් අධ්‍යයනය කළ හැකිය, යන්න ගෙස්ටාල්ට් මනෝවිද්‍යාඥයන්ගේ මතය වෙයි. හෝඩියේ අකුරු සහ අකුරුවල පිල්ලම් වෙන් වෙන් ව හඳුනා ගෙන ඒවා සංයෝගය කිරීමෙන් වචන හඳුනා ගැනීම වෙනුවට සමස්ත ලෙස වචනය හඳුනා ගෙන ඒ තුළින් අකුරුවල රූප හා ශබ්ද හඳුනා ගැනීම මෙයට උදාහරණයකි. ගණන් කිරීමේදී සමස්තයක් ලෙස සංඛ්‍යා නාම යෙදෙන රටාව හඳුනා ගැනීම සංඛ්‍යා නාම වෙන් වෙන්ව හඳුනා ගැනීමට කරන උත්සාහයට වඩා ප‍්‍රතිඵල සහිත වනු ඇත.

 ක්ෂේත‍්‍ර නා්‍යය යනුවෙන් ද හඳුන්වනු ලබන මෙම ගෙස්ටාල්ට් මතවාදය ගණිතය ඉගැන්වීම හා ඉගෙනීම කෙරෙහි මහත් සේ බලපා ඇත. විසිවන සියවසේ තුන්වන දශකයේ ඇමරිකාවේ ද පස්වන දශකයේ මහා බි‍්‍රතාන්‍යයේ ද ගණිතය ඉගැන්වීම කෙරෙහි ගෙස්ටාල්ට් මනෝවිද්‍යාව බලපෑමට පටන් ගත්තේය. බි‍්‍රතාන්‍යයේ පාසල් වල නිශ්චිත විසඳුම්වලට යොමු නොකෙරන විවෘතාන්ත ගැටලූ විසඳීමේ අවස්ථාවලට දරුවන්් දැක්වූ ප‍්‍රතිචාර ගෙස්ටාල්ට් න්‍යායට අනුව විමසිල්ලට ලක් කෙරිණ. මේ වන විට ගණිතය ඉගෙනීමේ දී .අභ්‍යාසන න්‍යාය. වැදගත් ස්ථානයක් හිමිකරගෙන තිබුණි. .පුනරභ්‍යාස අමතක කරන්න. සිසු ක‍්‍රියාකාරකම් තාර්කික ව පිළියෙල කරන්න. සම්බන්ධතා හඳුනා ගැනීමට අවස්ථා සලසන්න. ඊට අවධානය යොමු කරන්න. වැනි අදහස් ගණිතය ඉගැන්වීමේ දී වැදගත් කොට සලකන්නට විය.

ගෙස්ටාල්ට් න්‍යාය පදනම් කරගෙන අර්ථවත් ඉගෙනුම පිළිබඳ න්‍යායක් බිහි විය. මේ යටතේ සංඛ්‍යා පිළිබඳ ගණිත කර්ම අර්ථවත් කරවීමට හා ගණිතයෙහි කාර්යක්ෂමතාව වැඩි කර ගැනීමට උත්සහ දරන ලදී. ගණිතය ගණිතමය ක‍්‍රියාවලි සීරුවෙන් සහ කඩිනමින් භාවිතයට සිසුන් පෙළඹවීම සඳහා සමාජමය අවස්ථා සම්බන්ධ ඉගෙනුම් ක‍්‍රියාකාරකම් හිතාමතා සැලසුම් කෙරිණ. ගතානුගතික යාන්ත‍්‍රික ඉගෙනුම් ක‍්‍රමයට වඩා අර්ථවත් ඉගෙනුම් ක‍්‍රමය තුළින් ලබන ඉගෙනුම වඩා සාර්ථක බව ප‍්‍රත්‍යක්ෂ විය. සිසුන් තුළ ප‍්‍රතිවේධය නොහොත් පැහැදිලි අවබෝධය වර්ධනය කිරීම කෙරෙහි අවධාරණය කෙරිණ.

ගෙස්ටාල්ට් මතවාද හා ආකල්ප ප‍්‍රාථමික පාසල් ඉගෙනුම හා ඉගැන්වීම කෙරෙහි සැබැවින්ම බල පෑවේය. පන්ති කාමරය තුළ ව්‍යුහමය ගණිත උපකරණ (Structural Apparatus) භාවිතය මෙහි එක් ප‍්‍රතිඵලයක් විය. කියුසෙනයා (Cuissenaire), ඞීන්ස් සහ ස්ටර්න් (Stern)  වැන්නවුන් සැලසුම් කළ උපකරණ මෙයට උදාහරණය බහුපාද ගණක කුට්ටි මෙවැනි උපකරණයකි. සංයුක්ත, දෘශ්‍යමාන ලෝකයේ ද්‍රව්‍ය හා සිද්ධි මත ක‍්‍රියාකාරීවීමට පොළඹවන මෙම ව්‍යුහමය ගණිත උපකරණ, ගුරුවරයාගේ අවම මඟපෙන්වීම යටතේ තමාට ම සම්බන්ධතා අනාවරණය කරගැනීමට ඉඩ සලසසි.

 

 

 

 

 

 

 

 

ජීන් පියාජේගේ මතය

                ස්විස් ජාතික ජින් පියාපේ මුලින් ජිවවිද්‍යාඥයකු ලෙස ද පසුව මනෝවිද්‍යාඥයකු ලෙස ද ඉමහත් ප‍්‍රසිද්ධියට පත් කෙනෙකි. චර්යාවාදි ප‍්‍රබෝධක මත හා ස්කිනර්ගේ සාධනය පිළිබ`ද ඉගෙනුම් මතවලට වෙනස් අවබෝධය සහිත සංකල්ප වර්ධනය පදනම් කර ගත් නව මුහුනුවරක විද්‍යාත්මක ඉගෙනුම් න්‍යායක් ශික්ෂණ ලෝකයට පියාජේ විසින් හ`දුන්වා දෙනු ලැබීය.

වෛද්‍යවරයකු රෝගියකු තනි කොට ගෙන විමසා බලා රෝග විනිශ්චය කරන ආකාරයට සමාන සායනික ක‍්‍රමයකට, තම ඥාති දරුවන් කිහිප දෙනකු වෙන් වෙන් ව පරික්ෂාවට දිර්ඝ කාලයක් තුළ ලක් කර දරුවන්ගේ බුද්ධිය වර්ධනය වන ආකාරය පිළිබ`ද මතවාදයක් හේ ඉදිරිපත් කළේය.

ජිවියකු තම පරිසරයට අනුවර්තනය වන සාමාන්‍ය ක‍්‍රියාවලිය තුළින් එම ජිවියාගේ බුද්ධිය අධ්‍යයනය කළ හැකි බව පියාජේ ප‍්‍රකාශ කරයි. එසේ අනුවර්තනය වීම ජිවියාගේ චර්යාව තුළින් අධ්‍යයනය කෙරිණ. ජිවියකුගේ සමස්ත සංවිධානය ම අධ්‍යයනය කිරිම, හැසිරිම අධ්‍යයනයට අයත් වු අතර, පුද්ගලයකු කරන කි‍්‍රයාවක බාහිර ස්වරූපය නොව එම කි‍්‍රයාව මෙහෙයවන හෝ පාලනය වන හෝ පුද්ගලයා තුළ ඇති මානසික සංවිධානය බුද්ධිය වශයෙන් සැලකේ. මෙය ප‍්‍රබෝධක ප‍්‍රතිචාර ප‍්‍රවේශයට වඩා පු`ඵල් විග‍්‍රහයකි. පරිනාමය හා අනුවර්තනය වීම නිසා ජිවියකුගේ චර්යා රටාව මෙහෙයවන ජීව විද්‍යාත්මක ඉන්ද්‍රියයක් නොවන මනෝ සංවිධානය බුද්ධිය බව පවසයි.

පියාජේ දරුවන්ගේ චින්තන වර්ධනය, අවධිවලට බෙදා දක්වා ඇත. ඒ එක් එක් වර්ධන අවස්ථාවට බලපාන සාධක විස්තර කර ඇත.

ප‍්‍රතිහානි දැනුම (Instinctive),  ද්‍රව්‍යමය අත්දැකීම් ආශ‍්‍රිත දැනුම හා ගණිතමය තර්කන දැනුම යන මුලික දැනුම් තුන ඇතු`ඵව ඉගෙනුම, ස්මරණය හා භාෂා වර්ධනය යන සාධක අනුව මෙම වර්ධන අවස්ථා බෙදා ඇත.

මේවායින් දරුවන්ගේ තර්කන ගණිතමය දැනුම වර්ධනයට බලපාන චින්තනයෙහි ඇති ගණිතමය ව්‍යුහ තුනක් හ`දුනා ගෙන ඇත. කිසියම් පන්තියකට හෝ වර්ගයකට හෝ අයත් වීම හෙවත් අඩංගු වී ම පිළිබ`ද සංකල්පය ඉන් පළමුවැන්නයි. වයස අවුරුදු 6 හෝ 7 හෝ වන දරුවකුට ගිරව් සියල්ල කුරුල්ලන් වන බව හා කුරුල්ලන්  සියල්ල ගිරව් නොවන බව දැන සිටිය ද වැඩියෙන් සිටින්නේ කුරුල්ලන් ද නැතහොත් ගිරව් ද යන ප‍්‍රශ්නයට එක එල්ලේ පිළිතුරු දීමට අපෝහෝසත් වනු ඇත.

                                ගිරව්       +  වෙනත් කුරුල්ලෝ  = කුරුල්ලෝ

                                කුරුල්ලෝ + වෙනත් සත්තු       =   සත්තු

වැනි විජියමය ව්‍යුහ තවමත් ඔහු තුළ වර්ධනය වී නැත.

 

                පටිපාටිය හෙවත් අනුපිළිවෙල පිළිබ`ද ගණිතමය ව්‍යුහය දෙවැන්නයි. මෙයට අදාළ මනෝමය සැලැස්මද වයස අවුරුදු 7 පමණ වන තෙක් ඇති නොවේ. දිග එකිනෙකට වෙනස් හා අනුපිළිවෙලින් පිහිටි කෝටු 10 ක් පටිපාටිගත කිරිමට යාමේ දී සමස්තය හා සම්බන්ධ ප‍්‍රවේශ වීමක් ප‍්‍රද්ර්ශනය නොකරයි. සාර්ථක පටිපාටිකරණය ස`දහා සංක‍්‍රාම්‍යතාව පිළිබ`ද සම්බන්ධ අවබෝධ කර ගත යුතු වේ. ඉහත නිදසුන අනුව දිග පිළිබ`ද සංක‍්‍රාම්‍යතාව අවබෝධ කර ගැනීමේදී  a, b, c නම් කෝටු කැබලි තුනක් දිගින් a>b හා b>c නම් එවිට a>c යැයි තිරණය කළ හැකි වේ. වෙනත් ලක්ෂණ ඇසුරෙන් පවතින සම්බන්ධ ස`දහා ද මෙම ගුණය සත්‍යය ය.

 

 

තුන්වන ගණිතමය ව්‍යුහය අවකාශය පිළිබද සම්බන්ධයයි.

 

මානසික ව්‍යුහ වර්ධනයෙහි ලා ප‍්‍රධාන අවස්ථා 5 ක් හ`දුනා ගත් ඔහු එක් එක් අවස්ථාවේ මානසික ක‍්‍රියාකාරිත්වය අනුව,

                                1.            අක‍්‍රීය අවධිය

                                2.            පුර්ව ක‍්‍රියාකාරි අවධිය

                                3.            ක‍්‍රියාකාරි අවධිය

 

                යනුවෙන් ප‍්‍රධාන අවධි තුනකට බූද්ධිමය චින්තන වර්ධනය බෙදා දැක්විය. ජිවිතයේ කාල පරිච්ජේද වශයෙන් හැ`දින්විය හැකි මෙම අවධිවලට අයත් අවස්ථාවලට අදාළ දළ වයස් සීමා අවුරුදුවලින් මෙසේ ය.

 

                                අවධිය                                                       වයස අවුරුදු

           I     අක‍්‍රීය අවධිය

1.            ඉන්ද්‍රියචාලක අවධිය                                    0 - 2

               

          II පුර්ව ක‍්‍රියාකාරී අවධිය

2.            පුර්ව සංකල්පන අවධිය                               2 - 4

3.            ප‍්‍රතිභා චින්තන අවධිය                                4 - 7

 

              III  ක‍්‍රීයාකාරි අවධිය

 

4.            සංයුක්ත චින්තන අවධිය                              7 - 11

5.            වියුක්ත චින්තන අවධිය                               11 - 14 (පමණ)

 

මෙම වයස් සීමා දළ සීමා බවත්, වයස 14න් පසු ව වැඩිහිටියකු සේ සිතීමේ හැකියා සහිත ව හැසිරෙන බවත් මතක තබා ගන්න.

 

          I    අකී‍්‍රය අවධිය - ඉන්ද්‍රිය චාලක අවධිය

 

උපතේ සිට වයස අවුරුදු 2 පමණ වන තෙක් වූ මෙම අවධියෙහි මුල් අවස්ථාවල දරුවා සෘජු ක‍්‍රියාවල යෙදියි. කිරි උරාබීම, බැලීම, ඇල්ලීම වැනි බුද්ධි සමායෝ්ජනය රහිත ක‍්‍රියාවල පළමුවෙන් යෙදෙයි. මඳ වේලාවක් තුළ යමක් අල්ලා ගෙන සිටීම, වස්තුවක් දෙස බලා සිටීම වැනි බුද්ධි සමායෝජන ක‍්‍රියාවලට පසුව පිවිසෙයි. කිරි උරාබීම අඩක් ප‍්‍රතීක ක‍්‍රියාවක් වෙයි. එහෙත් මුලින් අහඹු ලෙස මවගේ තන පුඩුව සෙවීමේ යෙදුණ ද පසුව බුද්ධි සමායෝජනය සහිතව සෙවීම බඳු ක‍්‍රියාවල යෙදෙයි. එබඳු ක‍්‍රියා එක්තරා මට්ටමක බුද්ධි සමායෝජනයක් පෙන්වයි. ඉහළට, පහළට දරුවා ඔසවා පැද්දීම, යටිපතුල කිති කැවීම වැනි දරුවා හිනැස්සීමට දෙමාපියන් කරන ප‍්‍රබෝධකවලට ප‍්‍රතීක ක‍්‍රියා දක්වන අවස්ථා ඇත. මෙවන් ප‍්‍රතිචාර බුද්ධි සමායෝජනයෙන් තොර ය.

නිතැත් චලනවල හා ප‍්‍රතීක ක‍්‍රියාවල සිට, අත්පත් කළ පුරුදු වලටත්, ඒවා තුළින් බුද්ධි සමායෝජන ක‍්‍රියාවලටත් එළැඹීමේ මානසික වර්ධන රටාවක් මෙම අවධිය තුල පෙන්වයි. ඇඟිල්ල උරාබීම මුලින්ම අත්පත් කරගන්නා පුරුද්දකි. ආරම්භයේ දී ප‍්‍රතීක ක‍්‍රියාවක් වන මෙයින් ලබන තෘප්තිය නිසා පසු ව එය පුරුද්දක් බවට පත් කර ගනියි.

 

වයස අවුරුදු එකේ දී පමණ හැසිරීම් පද්ධතියෙහිි නව ලක්ෂණ පෙන්නුම් කිරීමට පටන් ගනියි. සමීප විය නොහැකි තැනක තිබෙන බෝලයක් වැනි වස්තුවක් ලබා ගැනීමට සිත අරමුණු කර ගැනීමටත්, ලබා ගැනීමේ උපාය මාර්ග ගැන සිතීමටත් පිළිවන. පළසක් මත ඇති බෝලයක්, පළස එහා මෙහා කළ විට ඒ එකකම එහා මෙහා යන හෙයින් උපායශීලීව එය තමා අ`ද ගනියි. බෝලය ලබා ගැනීමේ අරමුණ ඉටු කර ගනියි.

 

මෙබ`දුකි‍්‍රයාවක් බුද්ධිමය ක‍්‍රියාවක් ලෙස පියාජේ හඳුන්වයි. පළමුව අවශ්‍යතාවක් ඉදිරිපත් වෙයි. අවශ්‍යතාව ඉටු කර ගැනීමට උපාය මාර්ග ගැන සිතයි. ප‍්‍රතිඵලය වනුයේ උපාය මාර්ග ලෙස කලින් භාවිතා නොකළ මනෝ සංවිධානයක් ගොඩ නගා ගැනීමයි.

 

        II     පුර්ව ක‍්‍රියාකාරි අවධිය

 

අවධි දෙකකින් යුක්ත ය. අවුරුදු 2 සිට අවුරුදු 4 තෙක් වූ කාලය පූර්ව සංකල්පන අවධිය යනුවෙන්ද අවුරුදු 4 සිට අවුරුදු 7 තෙක් පමණවු කාලය ප‍්‍රතිහා චින්තන අවධිය යනුවෙන්ද හැඳින්වෙයි. බුද්ධිමත් දරුවන් අවුරුද්දකට හෝ අවුරුදු දෙකකට පමණ පූර්වයෙන් ද, බුද්ධියෙන් අඩු දරුවන් ඒ තරම් කාලයක් ප‍්‍රමාද ව ද ඒ ඒ අවධියට පිවිසෙනු ඇත.

 

පරිසර ද්‍රව්‍ය නියෝජනය සඳහා වචන හෝ සංකේත භාවිතය මෙම අවධිය තුළ දක්නට ලැබෙන විශේෂ ලක්ෂණයකි. ඒ නිසා ම  නියෝජනන අවධිය  නැත්නම් සංකේත අවධිය ලෙස මෙම අවධිය හඳුන්වනු ලැබේ. අම්මා දරුවාට ඇඳුම් ඇන්දවීම, අම්මා කෑම පිසීම වැනි අභිරූපණ රංග වල දරුවන් බෝනික්කන්් ඇසුරෙන් යෙදෙනු දක්නට හැකිය. දරුවාගේ සිතුවිලි නිරූපණය වෙන මෙබඳු අභිරූපන සඳහා පරිකල්පනය සම්බන්ධ වේ.

දරුවා ඉන්ද්‍රියචාලක අවධිය තුළ පරිසර වස්තූ සමඟ සෘජු අන්තර් ක‍්‍රියාවල යෙදෙයි. ජීවත්වන භෞතික ලෝකය නියෝජනය කරන වස්තු හා සංකේත හසුරුව ලයි. සෑම වස්තුවක් හැඳින්වීමට ඔහුට ආවේනික වාග්මාලාවක් යොදා ගනයිී.

 

මෙම  අවධියෙහි මුල් අවස්ථාවල වස්තුවක් තම දර්ශනයෙන් ඈත් වූ විට එය නොපවත්නා දෙයක් ලෙස සලකයි. ඔහුගෙන් ඉවතට ගෙන කෙනකුගේ දෑතෙහි සඟවා යම් කිසි දෙයක් කාක්කා  ගෙනිච්චා යැයි පැවසුවොත් එය සංජානනයට හසු නොවන නිසා තවදුරටත් නොපවතින දෙයක් ලෙස සලකයි.

 

පුර්ව ක‍්‍රියාකාරී අවධියේ මුල් කාලය තුළ එක් දිසාවකට පමණක් යොමු වුණු නිරූපණවලට අදාළ තර්කන මට්ටමක් හෙවත් අර්ධ තර්කන මට්ටමක් දරුවා පෙන්වයි. කිසියම් සිද්ධියකට අදාළ හේතුඵල සම්බන්ධයට පමණක් සීමා කෙරෙන අරමුණු ඉටුකර ගැනීමේ කාර්යමය ස්වරූපයක් ඇති බුද්ධියක් මෙම කාලය තුළ ප‍්‍රදර්ශනය කරයි.

 

 

        III     ක‍්‍රියාකාරි චින්තන අවධිය

 (අ) සංයුක්ත චින්තන අවධිය

 

අවධි දෙකකින් යුත් මෙහි මුල් අවධිය අවුරුදු 7 සිට අවුරුදු 11 තෙක් නව සංයුක්ත ක‍්‍රියාකාරී චින්තන අවධිය වෙයි.  පාසල්වල පළමුවන වසරේ සිට පස්වන වසර තෙක් වූ පන්තිවල සිටින දරුවන් මෙම කාල සීමාවට අයත් වන හෙයින් ප‍්‍රාථමික පාසල් ගුරුවරයාට මෙම කාලපරිච්ෙඡ්දය අතිශයින් වැදගත්ය.

 

දරුවාගේ ගණිතමය තර්කන චින්තනයේ ආරම්භය මෙම අවධිය තුළ සිදුවේ. මෙහි ක‍්‍රියාකාරී චින්තනය යනු බුද්ධි සමායෝජනය හෙවත් මානසික ව සිතීමේ ක‍්‍රියාවයි. පරිසරයේ ඇති වස්තු හැසිරවීමට අවශ්‍ය තර්කානුකූල ව සිතීමේ හැකියාව ද්‍රවය ආශ‍්‍රිතව පවතින හෙයින් මෙම අවධිය සංයුක්ත ක‍්‍රියාකාරී අවධිය යනුවෙන් හැඳින්වෙයි.

 

සංරක්ෂණය, අවිචලතාව යන සංකල්ප දෙක මුල්කොට ගෙන සංයුක්ත ක‍්‍රියාකාරී අවධිය සුවිශේෂී ව අධ්‍යනය කර ඇත.

සමාන ජල ප‍්‍රමාණ ඇති එක තරමේ වීදුරු දෙකක් පළමුවෙන් ඉදිරිපත් කර ඉන් එකක ජලය ඔහුට පෙනන සේ සිහින් උස වීදුරුවකට වත් කර, වීදුරු දෙකෙහි ම ඇති ජල ප‍්‍රමාණ පිළිබ`ද විමසු විට, ඒ දෙකෙහි ඇත්තේ එක තරමේ ජල ප‍්‍රමාණ බව එම සංකල්ප වැඞී ඇති දරුවා පවසයි.

මෙහි දී පිහිටිම වෙනස් වුවද, ජල ප‍්‍රමාණය නොවෙනස්ව පවතින බව දරුවා දකියි. මෙය  ප‍්‍රමාණය පිළිබ`ද සංරක්ෂණ සංකල්පය යනුවෙන්  පියාජේ හදුන්වයි. මෙම සංකල්පය වර්ධනය වු දරුවකු සංයුක්ත චින්තන අවධියට ළ`ගා වී ඇති බව නිගමනය කෙරේ.       

මෙයට පෙර අවධියෙහි මෙන් දකින දෙය තුළින් නිගමනවලට පැමිණිම වෙනුවට බූද්ධියමෙහෙයවීමෙන් සරල නිගමනවලට පැමිණිමට දරුවාට හැකිය.

 

මෙහිදී තවත් මානසික ක‍්‍රියායාවලියක් දරුවා තුළ ක‍්‍රියාත්මක විය හැකි ය. වීදුරුවේ ජලය ආපසු මුල් වීදුරුවට දැමීම උපකල්පනය කර ජල ප‍්‍රමාණ දෙක සමාන ව පිහිටන බව මෙනෙහි කිරිමට පිළිවන. මෙහිදී ආපසු සිතා බැලීමක් සිදු වේ. ක‍්‍රියාවලියක් සිදු කර එය ඔස්සේ ආපසු සිතා බැලීම ප‍්‍රත්‍යාවර්තන චින්තනය යනුවෙන් පියාජේ හ`දුන්වයි. ප‍්‍රමාණ සංරක්ෂණ සංකල්පය හා ප‍්‍රත්‍යාවර්තන චින්තන හැකියාව යන මේ දෙක ම සංයුක්ත චින්තන අවධියෙහි පසුවන දරුවකුට තිබිය හැකිය.

ජලය, වැලි හා මැටි වැනි සංයුක්ත ද්‍රව්‍ය මත චින්තය මෙහෙයවීම තුළින් දරුවා අදහස් උකහා ගන්නා හෙයින් මෙම අවධිය සංයුක්ත ක‍්‍රියාකාරී චින්තන අවධිය ලෙස හැ`දින්වේ.

මෙම අවධිය තුළ සිටින දරුවකුගේ ක‍්‍රියා ගණිතමය වශයෙන් ද, මනෝවිද්‍යාත්මක වශයෙන් ද වැදගත් වෙයි.

වර්ගීකරණය, පටිපාටිකරණය, අඩංගු වීම, අවකාශය, හැඩය හා සමමිතිය, දිග හා බර පිළිබ`ද සංකල්පද, කාලය හා වේගය, හා සංඛ්‍යා පිළිබ`ද සංකල්ප ද සම්බන්ධතා දැකීමේ හැකියාව ද මෙම අවධියේ පසුවන දරුවකුගේ ක‍්‍රියාකාරකම්වලට ඇතු`ඵ වන බව පියාජේ ප‍්‍රකාශ කරයි.

කිසියම් වර්ගයකට හෝ පන්තියකට අයත් ද්‍රව්‍ය ඒකරාශී කිරිම හෙවත් සමුහනය කිරිම, විවිධ වර්ගවලට අයත් ද්‍රව්‍ය කට්ටලයක් නැවත උපකොටස්වලට වෙන් කිරිම, අවයව අනුපිළිවෙළට තැබීම, සිද්ධි කිහිපයක් කාලානුරූප ව පටිපාටිගත කිරිම යන මේවා ගණිත පසුබිමක් සහිත ක‍්‍රියාකාරකම් වේ. එහෙත් අඩංගුවි මපිළිබ`ද සංකල්පය මේ වන විටත් සම්පුර්ණ ලෙස ග‍්‍රහණය කර නොගනියි.

 

(ආ) විධිමත් චින්තන අවධිය

වයස අවුරුදු 11 සිට අවුරුදු 14 පමණ තෙක් වු වියුක්ත ක‍්‍රියාකාරී චීන්තන අවධිය හෙවත් විධිමත් චින්තන අවධිය, ක‍්‍රියාකාරී චින්තන අවධියෙහි දෙවෙනි වැදගත් කාල පරිච්ජේදය වෙයි.

චින්තන ක‍්‍රියාවලිය හසුරුවනු ලබන පරිසර වස්තු පදනම් කර නොගෙන සංකල්ප හා සංකේත පමණක් පදනම් කර ගෙන චින්තනය මෙහෙයවීමට සමත් වෙයි. තර්කන, උපකල්පන හා නිගමන ගොඩනැගීමට දරුවා සමත් වෙයි. භෞතීය ක‍්‍රියා ඇසුරු කර නොගෙන සංකල්ප හා සංකේතමය සම්බන්ධතා මත බුද්ධි සමායෝජනය කෙරේ. තර්කානුකුල චින්තනය මෙහෙයවීමට සමත් වෙයි.

පවත්නා භෞතික තත්වයන්ගෙන් බැහැර ව විද්‍යාඥයකු හෝ තර්කඥයකු හෝ අනුගමනය කරන උපකල්පිත අපෝහන තර්කන ක‍්‍රියාවලිය දරුවකුට අනුගමනය කළ හැකිය. කිසියම් නිගමනයක් හෝ සිද්ධාන්තයක් හෝ වෙනත් අවස්ථාවක ඉදිරිපත් වන කරුණුවලට යොදා එම නියමය හෝ සිද්ධාන්තයට අනුරූප ව එම කරුණු අතර සම්බන්ධතාවක් ගොඩ නගා පෙන්වීම අපා්හනය යන්නෙන් අදහස් කෙරේ. අපෝහන තර්කනය යනු එබ`දු සම්බන්ධතා මානසික ව ගොඩ නගමින් තර්ක කිරිමය.

නම් * එවිට යන සම්බන්ධ භාවිතය, සිදු නොවේ යයි හැ`ගවෙන නිෂේධනය, බැහැර කිරිම, පරස්පර භාවිතය යන වියුඤ්ජනය :ාසිවමබජඑසදබ*ල එක්කෝ හෝ ඒ දෙකටම හෝ යන සම්බන්ධය, නම් හෝ යන සංකේතමය තර්කන ඇතු`ඵ ප‍්‍රස්තුතමය සංයෝජන මෙම නව මානසික ක‍්‍රියා වලියට අයත් වෙයි.

අවයව එකක්, දෙකක් හා තුනක් වශයෙන් එක්තැන් වන විට ඒ ඒ සමුහ අතර සම්බන්ධතා නිශ්චය කර ගැනීමේ හැකියාව මෙම මට්ටමේ දී ඇති වෙයි.

පටිපාටිමය සම්බන්ධ හා වර්ගීකරණය පිළිබ`ද සාමාන්‍යකරණ, සංයෝජන පද්ධතියන් සංයෝජන හා සංරක්ෂණ ගොඩනැගීමෙන් කෙළවර වෙයි. චින්තන ක‍්‍රියාවලිය තවදුරටත් ව්‍යාප්ත කිරිමෙහි ලා සංයෝජන පද්ධතීන් ගොඩ නගා ගැනීමේ මෙම හැකියාව අතිශයින් වැදගත් වෙයි.

විවිධ පාට ගණින සමුහයක් වරකට දෙක බැගින් හෝ තුන බැගින් හෝ කිහිප ආකාරයකට සම්බන්ධ හෝ සමුහනය හෝ කිරිමට සැලැස්වීමෙන් දරුවන්ගේ සංයෝජන සංකල්ප පිළිබ`ද අවබෝධය පරික්ෂා කර බැලීමට හැකිවනු ඇත. විවිධ පාට වස්තු පේළියක් පෙන්වා එය කී ආකාරයට නැවත සකස් කළ හැකි වේද බ`දු ප‍්‍රටිනවලට පිළිතුරු සැපයීමට සැලැස්වීමෙන් සංකරණ සංකල්පය පිළිබ`ද අවබෝධය විමසා බැලීමට හැකිවනු ඇත. වයස අවුරුදු 12ක් පමණ වන විධිමත් ක‍්‍රියාකාරි චින්තන අවධියෙහි පසු වන දරුවනට ඉහත ස`දහන් ආකාරයේ් ගැටලූවලට විස`දුම් සැපයීමට හැකි වනු ඇත.

කාලය, දුර හා වේගය, දිග, බර, පරිමාව හා ධාරිතාව, සමානුපාතය සහ සම්භාවිතාව පිළිබ`ද ගැටලූ ද, සමරූපතාව ඇතුළත් ජ්‍යාමිතික ගැටලූ ද විසදීමට අවශ්‍ය බුද්ධිමය හැකියාව ඔහුට ඇත.

ප‍්‍රාථමික පාසලින් බැහැරව ද්විතියික පාසලට පිවිසෙන බෝහෝ දරුවෝ විධිමත් ක‍්‍රියාකාරී චින්තන අවධියෙහි පසුවෙත්.

ඉහත සඳහන් බුද්ධිමය වර්ධන අවධි ඉක්මනින් හෝ අපිළිවෙළිින් හෝ පසු කිරීමට නොහැකිය. එසේ කළහොත් දරුවාගේ බුද්ධි වර්ධනයට අහිතකර තත්ත්වයක් ඇති කරවයි. දරුවාගේ බුද්ධි වර්ධනය සඳහා ක‍්‍රියාකාරකම් සැපයීමෙන් සහ සුදුසු ප‍්‍රශ්න ඉදිරිපත් කිරීමෙන් අභියෝග ඉගෙනුම්  පරිසරයක් ලබා දීම ගුරුවරයාගේ වැදගත් කාර්යයක් වේ. එවැනි පරිසරයක් නොලැබීමෙන් ඉහත වර්ධන අවධිවලට එළඹීම ප‍්‍රමාද වනු ඇත.

දරුවකුගේ මානසික වර්ධනය කෙරෙහි ප‍්‍රධාන සාධක 4ක් බලපාන බව පියාජේ සඳහන් කරයි. ඒවා නම්,

              1.  ඓන්ද්‍රිය වර්ධනය හෙවත් මේරිම.

              2. අත්දැකීම් සපයන අභියෝගී පරිසරය

              3. සමාජ අන්තර් කී‍්‍රයාකාරිත්වය හා

              4. සමතුලිතකරණ යි.

 

 දැන් අපි මේ එක් එක් පැහැදිලි කර ගනිමු.

 

1. මේරිම

ස්නායු සහ අධිවෘක්තීය පද්ධතිවල මේරිම හෙවත් පරිණත වීම මෙයින් අදහස් කෙරේ. මේරිම නව හැකියා ඇති කරයි. සමහර චර්යා රටා බිහිවීමට මේරිම අවශ්‍ය වුව ද එපමණක් ම ඊට නොසෑහේ. වයස අවුරුදු 4 1/2 දී පමණ දෘෂ්ටිය මනා ලෙස සමායෝජනය වුව ද දෘෂ්ටිමය සංජානනයට අවශ්‍ය ඉන්ද්‍රියමය තත්ත්ව ගැටවර වයස වන තෙක් සම්පුර්ණ ලෙස මේරිමට පත් නොවෙයි.

යම්කිසි ක‍්‍රියාවක් කිරිමට අවශ්‍ය මේරිම ලැබීමට පෙර එම ක‍්‍රියාව කල් තබා පුහුණු කිරිම සුදුසු නොවේ. නිදසුනක් ලෙස තනිවම පඩිපෙළක් නැගීමට යම්කිසි මේරිමේ මට්ටමක් දරුවකුට අවශ්‍ය ය. මේරිම ඇතිවීමට පෙර එම ක‍්‍රියා පුහුණු කිරිම අවශ්‍ය නොවේ.

 

2. අත්දැකීම් සපයන අභියෝගී පරිසරය

මනෝවිද්‍යානුකුල ව අත්දැකීම් දෙයාකාර ය.

                (අ)       භෞතීය අත්දැකීම් හා

                (ඉ)       තර්කානුකුල ගණිතමය අත්දැකීම් යනුවෙනි.

බර සමාන දැයි බැලීමට වස්තු දෙකක් කිරා බැලීම භෞතීය අත්දැකීමකි. බර යනු වස්තුවක ඇති බාහිර ලක්ෂණයකි. ඉගෙනුම ලබන්නකු තර්කානූකුල ගණිතමය අත්දැකීම් ලබනූයේ වස්තු තුළින් නොව, වස්ත\ මත එම පුද්ගලයා ක‍්‍රියාත්මක වීමෙනි.

 

නිදසුනක් ලෙස වයස අවුරුදු 7ට අඩු දරුවකුට ගල්කැට කහිිපයක් දී එය පේළියට තබා පළමුව පේලියේ එක් දිශාවකට ද දෙවනුව ඊට විරුද්ධ දිශාවට ද ගණන් කරවන්න. පසුව ගල් කැට අඩකවයක හෝ වෘත්තාකාර හෝ වෙනත් හැඩයක පිහිටන සේ තබා නැවත පෙර සේ ගණන් කරවන්න. ගල් කැට මෙතරම් ප‍්‍රමාණයක් ඇතැයි කියනු ඇත. මෙය භෞතිය අත්දැකීමකි. මෙහි ගල් කැට සංඛ්‍යාව නොවෙනස්ව පැවැතීම * අවිචල ව පැවැතීම, ගල්කැට පිහිටන රටාවට පරිබාහිර වුවකි. මෙම අත්දැකීම, ගණිතමය තර්කන අත්දැකීමක් වෙයි. ද්‍රව්‍යවලින් තොර ව, මනසින් ක‍්‍රියා කිරීමේ හැකියාව මෙබඳු අත්දැකීම් වලින් දරුවා ලබයි. මෙය ගණිතමය වියුක්ත කර්මයක් ලෙස පියාජේ හඳුන්වයි.

 

අපි තවත් නිදසුනක් ගනිමු. ්ලඊ හා ක්‍ යන වස්තු තුනක් දරුවෙක් කිරා බලයි. මෙය භෞතීය අත්දැකීමකි. දැන් ඊ වස්තුව ් ට වඩා බර ය. ක්‍ වස්තුව ඊ ට වඩා බර ය. එසේ නම්  ක්‍ හෝ ් අතරින් වඩා බර වස්තුව කුමක් දැයි නිගමනය කළ හැකි වනු ඇත. මේ ගණිතමය තර්කණ අත්දැකීමකි.

මෙවැනි බුද්ධිමය නිගමන සංක‍්‍රාම්‍යතාව පදනම් කර ගෙන ඇති බව පියාජේ ස`දහන් කරයි.

 

3. සමාජයීය අන්තර් ක‍්‍රියාකාරිත්වය

සන්නිවේදන භාෂාව තුළින් දැනුම ලැබිමේ කාර්යය මෙහි දී වැදගත්ය. හිතකර මානසික පසුබිමක් හෝ මනෝ රටාවක් හෝ ඇති විට පමණත් භාෂාව මගින් දරුවකුට දැනුම ලබා ගත හැකි වනු ඇත. ,මගේ සහෝදරයෙකි, යන පවුලේ සාමාජිකයකුට ඇති සම්බන්ධය තමාට පෙනුණද, එම සහෝදරයාට තමාද සහෝදරයෙකු වේ යන සමිබන්ධය නොපෙනිමට හෝ නොසිතීමට හෝ පිළිවන. තමන්ට තවත් කෙනෙක් සහෝදරයෙක් වේ, යන සම්බන්ධය ප‍්‍රත්‍යාවර්තිත ව සිතීමට නොහැකි වීම මෙයට හේතුවයි. දරුවකු ගේ මෙම මානසික සුදානම ගුරුවරයකු දැන සිටිය යුත්තේ ය. එය ඉගෙනුම් * ඉගැන්වීම් කාර්යයට වැදගත් ය.

 

4. සමතුලිතකරණය

ඉහත සාධක මනා ලෙස අනුයෝජනය වීමෙන් සමතුලිතකරණය සිදු වෙයි. සමතුලිත කරණය යනු කුමක් ද? නිදසුනන් ගෙන බලමු. අවශ්‍ය මේරිමේ මට්ටම පසු කළ දරුවෙක් සිටියි. එකම තරමේ මැටි ගුලි දෙකක් ඉදිරිපත් කර ඉන් එකක් පැතලි කරන්නැයි ඔහුට කියන්න. දැන් එක මැටි ගුලියක් ගෝලාකාර ය. අනික රොටියක් මෙන් පැතලි ය. මේ දෙක ම එකම තරම වේ දැයි විමසන්න. ඒ පිළිබ`ද  සැක සහිත අවස්ථාවක පැතලි කළ මැටි ගුලිය යථා තත්ත්වයට පත් කර ගනිමින් හැඩය වෙනස් කළ ද, ප‍්‍රමාණය (තරම* වෙනස් නොවන බව පසක් කර ගනු ඇත. පැතලි කරන ලද  ගුලියෙහි කුඩා වන ඝනකමට සරිලන පරිදි හැඩය ලොකු වන බව ඔහු දනියි. එක් අංශයකින් වන හානිය තවත් අංශයකින් ප‍්‍රතිපුරණය කෙරෙන මෙබ`දු ප‍්‍රත්‍යාවර්තන කාර්යයන් දැනුමෙහි සමතුලිතකරණ අවස්ථාවකට යොමු කරවයි.

දිග සමාන කෝටු කැබලි දෙක්ක එක ල`ග තබා පසු ව ඉන් එකක් අනිකට වඩා ඉහළින් තබන්න. ඉහළින් තැබු කෝටුව දිගින් වැඩි ලෙස පෙනුණ ද අනිත් කෙළවරෙහි කෝටු දෙක ඊට අනුරූප ව එකක් ඉහළට ගොස් ප‍්‍රතිපුර්ණය වී ඇති සැටි කුඩා දරුවකුට සමහර විට නොපෙනිය හැකිය. වයසින් මෝරත් ම වස්තු මත ක‍්‍රියා කිරිමෙන් දරුවන්ට සමතුලිතකරණ අවස්ථාවන්ට එළඹීය හැකි ය.

 

 

 කොටස 2 -  ගණිතය ඉගෙනීම පිළිබ`ද න්‍යාය

 

 

රිචඞ් ස්කෙම්ප්ගේ මතය

පියාජේ ඉදිරිපත් කර ඇති බුද්ධි වර්ධන අවධි පිළිබ`ද ඔබ ඉගෙන ගත්තෙහි ය. ගණිත සංකල්ප සාධනය පිළිබ`ද රිචඞ් ආර්. ස්කෙම්ප් ඉදිරිපත් කර ඇති අදහස් මීළගට සලකා බලමු.

ප‍්‍රකට ගණිතඥයකු වු ස්කෙම්ප් මානා්විද්‍යාවට නැඹුරුවීම නිසා පසු කලෙක මනෝ ගණිතඥයකු ලෙස ප‍්‍රසිධියට පත් විය.

සංකල්ප සහ මුලික ගණිත සංකල්ප දරුවකු තුළ වර්ධනය වන ආකාරය ඔහු විග‍්‍රහ කර දක්වයි. කුඩා කල සිට ම දරුවකුගේ අත්දැකීම්වලට හසුවන අවස්ථා සහ පරිසර වස්තු දරුවා වර්ග කර හ`දුනා ගනියි. වර්ග කර හ`දුනා ගෙන ඇති මෙම චර්යාමය අත්දැකීම් තුළට පසු දරුවා ලබන නව අත්දැකීම් ගළපා ගනු ලබයි. අත්දැකීම්වලින් දැන ගනු ලබන තොරතුරුවල නොවෙනස් ව පවතින නියත ලක්ෂණ කල් යත් ම වියුක්තකරණයට ලක් කර ගනියි. එසේ වියුක්තකරණය කෙරෙන තොරතුරු මතකයෙහි දිගු කලක් රදා පවතියි. සංකල්ප ලෙස සිත් තුළ පැළපදියම් වනුයේ මෙබ`දු තොරතුරුය.

නිදසුනක් ලෙස දරුවකු පරිසරයේ දකිනු ලබන පුටුවක් වැනි වස්තුවක් ගනිමු. පුටුව පිළිබ`ද නොයෙක් අවස්ථා විවිධ අත්දැකිම් ඔහු ලබයි. විවිධ ආකාරයේ හැ විවිධ හැඩයේ පුටු ඔහු දකියි. විවිධ ස්ථානවල තිබෙනු දකියි. හි`ද  ගැනීමට ප‍්‍රයෝජනයට ගනියි. කිසියම් උසක් කරා ළ`ගාවීමට ඒ  මතට නගියි. පුටුවක කකුල් හතරක්, ඇන්දක්, වේවැලින් වියු කොටසක් තිබීම වැනි ලක්ෂණ හ`දුනා ගනියි. නව හැඩයක පුටුවක් දකින අවස්ථාවක අතීත අත්දැකිම්වලට පාත‍්‍ර වු පුටු යන වස්තුව හා ගළපා ගනියි. එතෙක් වර්ධනය වී තිබු  පුටුව පිළිබ`ද සංකල්පය තව දුරටත් පු`ඵල් වෙයි. වියුක්තකරණයට භාජනය වෙයි. අත්දැකිම් තව දුරටත් ලබා ගෙන ගෙදර දොර ඇති මේසය, ඇ`ද, බංකුව, ටීපෝව වැනි වෙනත් භාණ්ඩ ද එක්කොට සංකල්පමය වශයෙන් ,ගෘහ භාණ්ඩ, යන වියුක්තකරණ මට්ටමට එළඹෙයි.

අත්දැකීම් කිහිපයක ඇති සමරූපී ලක්ෂණ හ`දුනා ගැනීම ද වියුක්තකරණය ක‍්‍රියාවලිය තුළින් සිදු වෙයි. සමරුපී ලක්ෂණ හ`දුනා ගැනීම ද වියුක්තකරණය ක‍්‍රියාවලිය තුළින් සිදු වෙයි. සමරූපී අත්දැකීම් එක්තැන් කිරිමක්, ගොනු කිරිමක්  එම`ගින් සිදු වෙයි. වස්තුවක් හෝ ද්‍රව්‍යයක් හෝ කිසියම් වර්ගයකට අයත්දැයි තීරණය කරන ඉගෙනුම් අත්දැකීමක් ලෙස වියුක්තකරණය හැ`දින්විය හැකි ය. මෙ ක‍්‍රියාවලියෙහි අවසාන ප‍්‍රතිඵලය වනුයේ සංකල්පයක් පුද්ගලයකු තුළ ඇති කරලීමයි.

මනසෙහි ඇති කරනු ලබන එවැන්නක් පුද්ගලයා තුළ දිගු කාලයක් තුළ රදා පවතිනු ඇත.

 

සංකල්පයක් කෙනකු තුළ ගොඩ නැගුණු පසු එම සංකල්පය විස්තර කර දැක්විම ස`දහා ඊට උදාහරණ ඉදිරිපත් කිරිම පහසු ය

සංකල්ප සාධනය සහ සංකල්ප වර්ධනය ස`දහා පුද්ගලයකුගේ භාෂාමය හැකියාව ද බෙහෙවින් බලපායි. වස්තුවක් නම් කරනු ලඅබීමෙන් එය කිසියම් වස්තු වර්ගයකට ඇතු`ඵ කරනු ලබයි. නමකින් හ`දුන්වන ලබන දෙයක් වර්ග කර දැක්වීමට ද පහසු ය. විවිධ හැඩයේ හා තරමේ පුටු කිහිපයක් පිළිබ`ද අත්දැකීම් ලැබිමෙන් පසු පුටුව යන සංකල්පය දරුවකු ගොඩ නගා ගනියි. එබ`දු හැඩයේ  ඕනෑම වස්තුවක් ඔහු පුටුව යන නමින් හැ`දින්වීමට පසුව පෙළඹෙයි.

    

 

මනසෙහි දෙයාකාරයක සංකල්ප ගොඩ නැගෙණු ලබයි. බාහිර ලෝකයේ ඉන්ද්‍රිය චාලක අත්දැකීම්වලින් ගොඩ නගා ගන්නා සංකල්ප ප‍්‍රාථමික සංකල්ප වෙත්. .රතු. ල.මෝටර් රථය.ල .උණුසුම. හා .පැණිරස. වැනි සංකල්ප ප‍්‍රාථමික සංකල්ප කිහිපයකට නිදසුන් ය. මෙම මුලික සංකල්පවලින් වියුක්ත කර ගොඩ නගා ගනු ලබන වෙනත් සංකල්ප ද්විතියික සංකල්ප වෙත්. මේවා තරමක් ඉහළ ගණයේ සංකල්පයෝ ය. මේවා එක එල්ලේ ම හෝ වක‍්‍ර ව හෝ සංකල්පයකින් වියුක්ත කර ලබා ගන්නා සංකල්ප වන නිසා වියුක්ත බවින් වැඩි ය. අවට ලෝකයේ අත්දැකීම්වලින් ද ඈතය.

සංකල්ප දෙකක් සෑසදීමට පහසු වනුයේ සංකල්ප දෙක ම එක ම අනුක‍්‍රමාවලියක කොටස්  වනුයේ නම් පමණ ය. වියුක්ත බවින් වැඩි .ගායනය. වැනි සංකල්පයක් .පාට. වැනි සංකල්පයක් සම`ග සැසදීම උගහට ය. .පාට.ල .ආලෝකය. වැනි සංකල්ප ගොඩ නැගිය හැකි වනුයේ රතු, නිල, කොළ පාටවලට අදාළ සංකල්ප ගොඩ නැගී ඇත්නම් පමණ ය. පුද්ගලයකු ලබා ඇති සංකල්පයකට වඩා ඉහළ ගණයේ සංකල්පයක් සන්නිවේදනය කළ හැකි වනුයේ අර්ථදැක්වීම් හෝ නිර්වචන හෝ තුළින් නොව ඊට අදාළ සුදුසු නිදසුන් ඇසුරෙන් අත්දැකීම් ලබා ගැනීමට සැලැස්වීමෙනි.

එදිනෙදා ජිවිතයේ අප ලබන දැනුමෙන් වැඩි කොටසක් වටාපිටා පරිසරයෙන් අපි එක එල්ලේ ම ලබා ගනිමු. ඒවාට අදාළ සංකල්ප ද එතරම් සංකීර්ණ නොවේ. වියුක්ත නොවේ. එහෙත් ගණිතය විෂයය යටතේ එන බෝහො කරුණු අතිශයින් සංකීර්ණ ය. වියුක්ත ය.

පරම්පරා ගණනක් තිස්සේ ඒ ඒ පරම්පරාවල සිටි බුද්ධිමතුන් ඊට පෙර පරම්පරාවල අය දැන සිටි කරුණු සාමාන්‍යකරණය හා වියුක්තකරණය කර ගණිතය විෂය කරුණු ගොඩ නගා ඇත. මේ නිසා ඒවා අතිශයින් වියුක්ත ය. වටපිටාව තුළින් පමණක් සරල ලෙස ඉගෙනීමට නොහැකි ය. විෂයය පිළිබ`ද දැනුමක් ඇති පුද්ගලයකුගේ මාර්ගයෙන් පමණක් ඉගෙන ගත යුතු වෙයි. ඉගෙන ගනු ලබන්නාට වඩා ඉගැන්වීම කරන්නා මේ නිසා අවබෝධයකින් සිටිය යුතු බව ස්කෙම්ප්ගේ අදහසයි.

ඉගෙන්වීමේ දී සංකල්ප පිළිබ`ද අවබෝධය සිද්ධාන්ත හෝ නිර්වචන හෝ තුළින් නොව, ඒ ඒ අවස්ථාවට අදාළ සුදුසු උදාහරණ මගින් පැහැදිලි කර දිය යුතු ය. සංකල්පයක් සත්‍ය වශයෙන් ම වෙනත් සංකල්ප පදනම්කොට ගොඩ නැගී ඇති නිසා එම මුලික සංකල්ප පිළිබ`ද අවබෝධය ඉගෙන ගනු ලබන තැනැත්තා තුළ ඇති බවට උගන්වන තැනැත්තා සෑහීමකට පත් විය යුතුය. සාමාන්‍ය මට්ටමේ බුද්ධිමත් දරුවකුට විශේෂයෙන් මුල් වකවානුවල ගණිතය ඉගෙනුම හො`ද ඉගැන්වීමක් මත ගොඩ නැගිය යුතු බව මෙයින් අවධාරණයෙන් පෙන්නුම් කරයි.

ගණිතය විෂයය පිළිබ`ද හො`දින් දැන සිටීම එක් දෙයකි. සංකල්පමය අවබෝධයෙන් පහළ සිටින තවත් කෙනකුට ගණිතය ඉගැන්වීම ඊට ඉදුරා ම වෙනස් දෙයකි. තරමක් අපහසු කාර්යයකි.

 

 

මනෝ රටාව හෙවත් ස්කීමාව

 

ස්භාවයෙන් ම සංකල්පයක් ගොඩ නැගෙනුයේ තවත් සංකල්පයක් මත ය. ප‍්‍රාථමික සංකල්ප හැරුණු විට අන් සෑම සංකල්පයක් ම වෙනත් මුලික සංකල්පවලින් සැදී ඇති අතර නව සංකල්ප ගොඩ නැගීමට ඒවා නැවත නැවත සම්බන්ධ වෙයි. මේ අනුව සංකල්පයක් යනු සංකල්ප අනුක‍්‍රමාවලියක කොටසක් වෙයි. සංකල්පයක් ගොඩ නැගෙන සෑම අවස්ථාවක ම එය සංකල්ප අනුක‍්‍රමාවලියකට සම්බන්ධ විකල්ප වර්ගීකරණයකින් දැක්විය හැකිය. මෝටර් රථයක් වරෙක වාහනයක් ලෙස ද, වරෙක ඉහළ සමාජ පන්තිය නියෝජනය කෙරෙන සංකේතයක් ලෙසද, තවත් වරෙක නිර්යාත භාණ්ඩයක් ලෙස ද එසේ නැත්නම් ආදායමක් ලබා දෙන දේපලක් ලෙස ද විකල්ප ලෙස වර්ග කළ හැකි වෙයි.

 

වර්ගය පිළිබ`ද සංකල්ප මෙන් ම වර්ග අතර සම්බන්ධ තුළින් විවිධ ව්‍යුහ හා සංකල්ප ද මතු කරලයි. ගණිතයෙහි මෙම ව්‍යුහ අධ්‍යයනය වැදගත් වෙයි. ව්‍යුහ ගොඩ නැගෙන ආකාරය ද ඒවායේ කාර්යය ද අධ්‍යයනය ගණිතය ඉගෙනීමෙහි මනෝවිද්‍යාත්මක හරය ලෙස හැ`දින්විය හැකි ය.

 

මනසෙහි ගොඩ නැගෙන මනෝමය ව්‍යුහය කිසියම් මානසික සැලැස්මකි. එය හැ`දින්වීමට ස්කීමාව හෙවත් මනෝ රටාව යන යෙදුම ඔහු භාවිතා කරයි. ඉන්ද්‍රියචාලක ක‍්‍රියාකාරකම් මෙහෙය වන සරල සංකල්පමය මනෝ ව්‍යුහ මෙන් ම ගණිතයේ සංකීර්ණ සංකල්පමය මනෝ ව්‍යුහ ද මෙයට ඇතු`ඵ වෙයි.

අවට ලෝකය සම`ග ඇති වන ඉන්ද්‍රියමය අත්දැකිම් හා චාලක ක‍්‍රියාකාරකම් තුළින් මනෝරටාවල ආරම්භය සිදු වන අතර පුද්ගලාන්තර සම්බන්ධතා තුළින් එය තව දුරටත් වර්ධනය වෙයි.

 

 

මනෝ රටාවලින් සිදු වන කාර්යය දෙයාකාර ය. පුද්ගලයා තුළ පවත්නා දැනුම සමෝධානය කරන අතර තුර නව දැනුම ලබා ගැනීම පිණිස මෙවලමක් වශයෙන් එය ක‍්‍රියා කරයි.

කිසියම් දෙයක් සංකල්පයක උදාහරණයක් ලෙස දකින විට කරුණු දෙකක් ඉන් හ`ගවයි. එම ද්‍රව්‍යයක්, එම ද්‍රව්‍යය අඩංගු ද්‍රව්‍ය කුලකයත් ඉන් හ`ගවයි. කිසියම් මෝටර් රථයක් දුටු විගස එය මෝටර් රථ කුලකයේ අවයවයක් බව දැන ගනියි. එහෙත් මෙම කුලක සංකල්පය මෝටර් රථය අයත් විය හැකි විවිධ අවස්ථාවලට සම්බන්ධ ව අවශය කෙරෙන සංකල්ප රාශියක් සම`ග මනෝ ව්‍යුහ මගින් සම්බන්ධ වී පවතියි. එය වෙළ`දාම පිණිස ඉදිරිපත් කර ඇත්නම්, මෝටර් රථ එළවීමේ දී අප ලබා සිටින විවිධ  සංකල්ප භාවිත කෙරේ. මෝටර් රථයෙහි මිළ ඉහළ එකක් නම් මුදල් ලබා ගැනීමේ මුලාශ‍්‍ර පිළිබ`ද මනස ක‍්‍රියාත්මක වේ. මෝටර් රථය ක‍්‍රියා විරහිත ව ඇත්නම් අවශ්‍ය ආයුධ ආම්පන්න, ගරාජ පිළිබ`ද අදහස් සිහියට නැගෙනු ඇත. මේ සියල්ල මෙයට කලින් මෝටර් රථයක් පිළිබ`ද ව අත්වි`ද ඇති මනෝ රටාය.

වැඩිපුර දැනුම අත්පත් කර ගැනීම ස`දහා ද මනෝ රටා බෙහෙවින් වැදගත් ය. ගුවන් යානා සැලසූම් කිරිම ස`දහා  Aerodynamics  පිළිබ`ද දැනුම ද, ඒ ස`දහා කලනය පිළිබ`ද දැනුම ද,කලනය ස`දහා වීජගණිතය පිළිබ`ද දැනුම ද,  වීජගණිතය ස`දහා ගණිතය පිළිබ`ද දැනුම ද අපට තිබිය යුතු ය. මෙබ`දු උසස් ඉගෙනුම් සියල්ල ස`දහා කියවීම, ලිවිම හා කථනය පිළිබ`ද මුලික මනෝ රටා අවශ්‍ය කෙරේ.

මනෝ රටා මුල් කර ගත් ඉගෙනුම යාන්ත‍්‍රික ඉගෙනුමට වඩා වැදගත් බවත් වඩා ඵලදායි බවත් ඔහු දක්වයි. අලූතෙන් ලබන අත්දැකීමක් පවත්නා මනෝ රටාවකට ගැළපේ නම් එය හෙ`දින් මතකයේ රුදේ. අනුවර්තනය වීම ස`දහා හො`ද මෙවලමක් ලෙස ද මනෝ රටා කි‍්‍රයා කරයි. අලූත් අත්දැකීම් සමග‍්‍රහණය කර ගැනීමේ දී මනෝ රටා ඊට ගැළපෙන ලෙස සැකසේ. කිසියම් ආකාරයක ප‍්‍රතියෝජනයක් සිදු වනුයේ එවිට ය. සමග‍්‍රහණය සහ ප‍්‍රතියෝජනය නිසි අයුරු සිදුවීමෙන් දැනුම වර්ධනය වන බව ඔහු විශ්වාස කරයි.

 

 

 

 

 

 

ජෙෘරමි එස් බෲනර්ගේ මතය

 

ජෙෘරමි බෲනර් අනාවරණය තුළින් ඉගෙනුම පිළිබ`ද මතය ගුරුකොට සැලකු අධ්‍යාපනඥයෙකු විය. ඉගෙන ගනු ලබන ආකාරය හෙවත් ඉගෙනුම් ක‍්‍රියාවලිය හේ ඉතා වැදගත් කොට සැලකිය. ඉගෙනීමෙහි  ඉලක්කය අනාවරණය කර ගනු ලබන දෙයයි. ඉගෙන ගනු ලබන්නා අවෙතෙන් යමක් අනාවරණය කර ගැනිම මෙයින් අදහස් නොකෙරේ. ඒ විට ඔහු දැන සිටි දැනුම් කොටසක් ප‍්‍රතිසංවිධානය කර ගැනීම ද ඉන් අදහස් කෙරිණ.

 

විෂයාශ‍්‍රිත ව දරුවකු යමක් ඉගෙනීමෙහි දී

                1.            ක‍්‍රියාකාරි අවස්ථාව  *           (Play Stage)

                2.            ප‍්‍රතිමාරූපී අවස්ථාව *           (Iconic Stage)

                3.            සංකේත අවස්ථාව    *           (Symbolic Stage)

වශයෙන් අවස්ථා, තුනක් පසු කරන බව බෲනර් පවසයි.

 

ක‍්‍රියාකාරී අවස්ථාවේ දී දරුවා පරිසරයේ ඇති ද්‍රව්‍ය හසුරුවාලීමෙහි යෙදෙයි.

ප‍්‍රතිමාරූපී අවස්ථාවෙහි ද්‍රව්‍ය පිළිබ`දචිත්තරූප ඇති කර ගනිමින් විවිධ නිරූපණ කරයි. සංකේත අවස්ථාවෙහි සංකේත හැසිරවිය හැකි අතර තම අතිදැකීම් භාෂාමය ප‍්‍රකාශවලට හරවයි.

 

ඉගෙනුම පිළිබ`ද ඔහු දරන අදහස් වනුයේ  ඕනෑම වර්ධන අවධියක පසු වන  ඕනෑම දරුවකුට  ඕනෑම විෂයයක් පිළිබ`ද ව කිසියම් බුද්ධිමය අවංක ආකාරයකින් ඉගැන්විය හැකි බවයි. මෙම ප‍්‍රකාශනය අධ්‍යාපනඥයින් බෝහෝ දෙනකුගේ අවධානයට ලක් විය.

 

දරුවකු සුදානමින් සිටිනුයේ කුමකට ද යන්න පළමුවෙන් තිරණය කළ යුතු ය. උගන්වන වීෂය කරුණු ඊට ගැළපෙන අයුරු පසුව සංවිධානය කර ගත යුතු ය. මෙහි වැදගත්කම ගුරුවරුන් අවබෝධ කර ගත යුතු බව ඔහු අවධාරණය කළේ ය.

 

දරුවකුට කළ හැකි මට්ටමට ගැළපෙන අයුරින් සංකේතමය හෝ ප‍්‍රතිමාරූපී හෝ ක‍්‍රියාකාරී හෝ වශයෙන් විෂය කරුණු සකස් කර ඉදිරිපත් කිරිම ඉගැන්වීමේ දී වැදගත් වන බව ඔහු අදහස් කරයි.

 

කවර හෝ ඉගැන්වීම් ක‍්‍රියාවලියක තිබිය යුතු වැදගත් කරුණු 4ක් ඔහු මෙසේ දක්වයි.

 

1.            පුද්ගලයකු තුළ ඉගෙනුමට ප‍්‍රවණතාවක් ඇති කරන ආකාරයේ ඉගෙනුම් අත්දැකීම් සැපයීම.

2.            ඉගෙන ගනු ලබන්නාට ග‍්‍රහණය කර ගත හැකි ආකාරයට දැනුම ව්‍යුහගත කිරිම.

3.            උසස් කාර්ය සාධන ආකාරයකට තුඩුදෙන ලෙස ඉගෙනුමට ඇති දේවල් අනුක‍්‍රමයකට ඉදිරිපත් කිරිම.

4.            ඉගෙනීම වර්ධනය වන ආකාරයට ගැළපෙන ත්‍යාග සහ පෙළඹවීම් ඉදිරිපත් කිරිම සහ ඒවායේ ස්වභාව වැදගත් වීම.

 

 

සෝල්ටාන් ඞීන්ස්ගේ මතය

ගණිතය ඉගෙනුම ස`දහා විශේෂ ඉගෙනුම් උපකරණ සැලසුම් කළ ගණිත අධ්‍යාපනඥයකු ලෙස ප‍්‍රසිද්ධ ය. ඞීන්ස්ගේ බහුපාද කුට්ටි (Multi-base Blocks)  සහ ගුණ (ගණිත) කට්ටලය (Attribute blocks) එම උපකරණවලට නිදසුන් දෙකකි.

 

ඉගෙනුම පිළිබ`ද මුලධර්ම 4 ක් මත ගණිතය ඉගැන්විය හැකි බව ඔහු අදහස් කළේය.

 

1.            ගතික මුලධර්මය     * සංකල්පයක මුලික අදහස් හ`දුනා ගනු ලබන යොමු නොකළ ක‍්‍රීඩා අවස්ථාවල සි සංකල්පයෙන් අර්ධ ව්‍යුහගත අවස්ථාවලට ඉගෙනු ගනු ලබන්නා යොමු කර සංකල්පය අවබෝධ කරවීමත් සංකල්පය තහවුරු කර භාවිතයට යොමු කිරිමත් මෙම මතයෙන් අදහස් කෙරිණ.

 

2.            නිර්මාණාත්මක මුලධර්මය            * විශ්ලේෂණාත්මක චින්තනයට පෙර නිර්මාණශීලි චින්තනය පහළ වේ. වික‍්‍රමාන්විත අනාවරණ සිතුවිලි පහළ කෙරෙන ගණිතමය අත්දැකීම් ලැබෙන අවස්ථා දරුවනට ඒ නිසා සැපයිය යුතු ය. මේ අවධියේ දී තර්කානුකුල නිගමන කිරීමට නොහැකි වුවද ප‍්‍රතිභා චින්තන අවධියේ දී ඔවුන් කිසියම් අදහසක් පිළිබ`ද ඇති කර ගනිති.

 

 

3.            ගණිතමය විචලතා මුලධර්මය                    * ගණිත විචල්‍ය අතර සම්බන්ධය බෝහෝ විට නියතය. වෙනස් වනුයේ විචල්‍යයය. සංකල්පයක් දරුවකු තුළ ඇති කරලීමේ දී සම්බන්ධය එලෙසම තබා ගෙන එක් එක් විචල්‍යය වෙනස් වීමට ඉඩ සැලසිය යුතුය. නිදසුනක් ලෙස සමචතුරස‍්‍ර හැඩය පිළිබ`ද සංකල්පය ගනිමු. තරම නොහොත් විශාලත්වය ද, පිහිටන ඉරියව්ව ද එම හැඩය පිළිබ`ද සංකල්පයට බලපාන විචල්‍ය දෙකකි. ඒවා විවිධ ලෙස වෙනස් කරමින් සමචතුරස‍්‍රය පිළිබ`ද සංකල්පය ගොඩ නැගිය යුතුය.

 

 

 

 

 4.           සංජානනාත්මක විචලතා මුලධර්මය                    * සංකල්ප ව්‍යුහය නියතව තබා ගෙන සංජානන නිරුපණ වෙනස් වීමට ඉඩ හළ යුතුය. ජා්‍යා පුවරුවක(Geoboard) රබර් වළලූවලින් දැක්වීම, කඩදාසියක ඇ`දිම, පෝස්ටරයක මුද්‍රිත අවස්ථාවක් දැකීමට සැලැස්වීම, සෘජුකෝණාස‍්‍ර හැඩය ඉදිරිපත් කළ හැකි අවස්ථා සමහරක් වෙයි. සෘජුකෝණස‍්‍රයක හැඩයෙහි සංජානන නිරුපණය වෙනස් වුව ද සංකල්පමය ව්‍යුහය මෙහි දී වෙනස් නොවි පවතී.

 

ඊඩිත් බිග්ස්ගේ මතය

ගණිත සංකල්ප ඉගෙනීමටත් ගැටලූ විස`දීමටත් විමර්ශනය ඉතා වැදගත් බව බිග්ස්ගේ අදහස වෙයි. මේ අවස්ථාවල ගුරුවරයාට ද වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කිරිමට ඇත. ඔහු අදාළ ද්‍රව්‍ය සපයා දීමෙන් හෝ අභියෝගාත්මක ගැටලූ ඉදිරිපත් කිරිමෙන් හෝ අවශ්‍ය පසුබිම සලසා දිය යුතු වෙයි. දරුවන් කරන දෑ නිරික්ෂණය කර ඉගෙනුමට යොමු කෙරෙන ප‍්‍රශ්න ඉදිරිපත් කළ යුතු වෙයි. විමර්ශනය තුළින් ඉගෙනීමේ වැදගත් නියමයන් ඇය මෙසේ දක්වයි. කල්පවත්නා හො`ද ඉගෙනුමකට ඒවා වැදගත් ය.

 

           +++     නිදහස් අනාවරණය * මෙය ගැටලූවක් පැන නැගුණු විට හෝ ගුරුවරයා ප‍්‍රශ්නයක් ඉදිරිපත් කිරිමේ ප‍්‍රතිඵලයකින් හෝ උදාවිය හැකි ය. තමා විසින් සොයා ගනු ලබන හෝ ගුරුවරයා විසින් දෙනු ලබන හෝ ද්‍රව්‍ය දරුවෝ භාවිත කරත් ද්‍රව්‍ය නොමැති අවස්ථාවලදී ද ඔවුන් ගවේශණය කරනු ඇත. ගුරුවරයා